Progressão Geométrica

Questão 01
O valor positivo de x que torna a sucessão (1/2, x, 9/8) uma PG é:

(A) 1/2
(B) 1/4
(C) 3/2
(D) 3/4
(E) 3/8

Resposta: D


Questão 02
O valor de x para que a seqüência (x+1, x, x+2) seja uma PG é:

(A) 1/2
(B) 2/3
(C) -2/3
(D) -1/2
(E) 3

Resposta: C


Questão 03
A seqüência (8x, 5x-3, x+3, x) é uma progressão geométrica, de termos positivos, cuja razão é

(A) 1/4
(B) 1/3
(C) 1/2
(D) 2
(E) 3

Resposta: C


Questão 04
Ao interpolarmos 5 meios geométricos entre 1458 e 2, encontramos uma PG de razão:

(A) -1/2 ou +1/2
(B) -1/3 ou +1/3
(C) -1/4 ou +1/4
(D) -1/5 ou +1/5
(E) -1/6 ou +1/6

Resposta:B

Trabalho, Potência e Energia

Resumo e exercícios sobre trabalho e energia, clique no link abaixo:

http://www.conselheirocrispiniano.com.br/download/trabalho_e_potencia.doc

Prograssão Aritmética

1 - Introdução

Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.

Uma seqüência pode ser finita ou infinita. O exemplo dado acima é de uma seqüência finita. Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.

Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma:(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , ak é o k-ésimo termo, ... , an é o n-ésimo termo. (Neste caso, k <0)

Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc.

São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles. Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3. A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência, é denominada termo geral.

Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo. Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo) correspondente.

Assim por exemplo, para n = 20, teremos an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a20) é igual a 65. Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria: S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).

Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la. Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo. Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como: (15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).

Por exemplo: a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.2 -

2- Conceito de Progressão Aritmética - PA

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)

3 - Termo Geral de uma PA

Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que:
an = a1 + (n – 1) . r

A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA. Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.

Exemplos:

Qual o milésimo número ímpar positivo?

Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a1000.

Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:

a1000 = a1 + (1000 - 1).2
= 1 + 999.2 = 1 + 1998
= 1999.

Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.

Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?

Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica:

22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e,
22 - 100 - 2 = - 2n

de onde conclui-se que

- 80 = - 2n , de onde vem n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos.

Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemos generaliza-la da seguinte forma:

Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte fórmula genérica:
aj = ak + (j - k).r

Exemplos:

Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?
Temos a5 = 30 e a20 = 60.

Pela fórmula anterior, poderemos escrever:
a20 = a5 + (20 - 5) . r

e substituindo fica:
60 = 30 + (20 - 5).r ;
60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.

Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?
Temos r = 5, a20 = 8.

Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5
a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.

3 - Propriedades das Progressões Aritméticas

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste. Exemplo: PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2

Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo: Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo: (x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.

Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.

Exemplo: PA : ( m, n, r, s, t);

portanto, m + t = n + s = r + r = 2r

Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.

4 - Soma dos n primeiros termos de uma PA

Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an). A soma dos n primeiros termos
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an ,

pode ser deduzida facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima.

Temos:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an

É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como:
Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1

Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:

2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)

Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que:2.
Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA.

Daí então, vem finalmente que:
Sn = (a1 + an).n/2

Exemplo:

Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.

Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )
Precisamos conhecer o valor de a200 .

Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399
Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000
Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.

Exercícios resolvidos e propostos:

1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?
a) 9*
b) 8
c) 7
d ) 6
e) 5

SOLUÇÃO: Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:
an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)
an = 7/5 – 2n/5 + 2/5
= (7/5 + 2/5) –2n/5
= 9/5 –2n/5
= (9 – 2n)/5

A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:
Sn = (a1 + an). (n/2)
= [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2)
= [(16 – 2n)/5].(n/2)
Sn = (16n – 2n2) / 10

Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:
(16n – 2n2) / 10 <0>

Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter:

16n – 2n2 <0> 8.
Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9. Portanto, a alternativa correta é a letra A.

2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:
a) 8
b) 12
c) 15
d) 24*
e) 33

3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.
Resp: 60

4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.
Resp: r = -1

5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:
a) 64376
b) 12846
c) 21286
d) 112
e) 61376*

Propriedades dos Radicais

Assista atentamente à vídeo-aula sobre radicais clicando no link abaixo:
http://www.youtube.com/watch?v=OkJ8rAxcubc

RADICAIS



A raiz de índice par de um número não-negativo é um número real não-negativo.

A raiz de um radical de índice ímpar tem o mesmo sinal do radicando.

Potência com expoente fracionária: relacionando radiciação com potenciação.

Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número natural não-nulo, temos:

Propriedades dos radicais

1ª propriedade:

Para os radicais de índice n de uma potência com expoente também igual a n temos:

se n é um número natural ímpar, então:sendo a um número real;

se n é um número natural par não-nulo, então:com a um número real.

2ª propriedade:

Dividindo-se o índice e o expoente do radicando por um mesmo número natural maior que zero, o valor do radical não se altera, ou seja:

1. sendo a um número real positivo, m um número inteiro, n um número natural não-nulo e p divisor de m e n.

2. Essa propriedade permite simplificar certos radicais, isto é, transformá-lo em outros radicais mais simples e equivalentes aos radicais dados.

3ª propriedade:

O radical de índice natural não-nulo n de um produto , com a e b números reais positivos, é igual ao produto dos radicais de mesmo índice n dos fatores (a e b) do radicando, ou seja:


4ª propriedade:

O radical de índice natural não-nulo n de um quociente , com a e b números reais positivos, é igual ao quociente dos radicais de mesmo índice n dos termos a e b do radicando, ou seja:
1. Essas propriedades permitem simplificar certos radicais, tirando fatores do radicando.
2. Da mesmo forma que podemos tirar fatores do radicando, podemos fazer o inverso, ou seja, introduzir fatores externos no radicando. Veja os exemplos:


Observações:

Não se pode somar nem subtrair radicais diferentes. Imagine as raízes como letras.

Letras iguais: podem ser somadas ou subtraídas, divididas ou multiplicadas. Letras diferentes se podem apenas ser divididas ou multiplicadas uma pelas outras:

Analogamente ao que acontece com os radicais: É impossível fazer: x + y ou x – y, mas é possível fazer: xy e x/y ou ainda x + x = 2x e x – x = 0.

Mais exercícios resolvidos clique no link:

http://www.blogviche.com.br/2007/03/25/questionarious-1-potenciacao-e-radiciacao/

Potenciação

Assista à vídeo-aula clicando no link abaixo, em seguida
resolva as questões sobre potenciação e traga as dúvidas na próxima aula.

http://www.youtube.com/watch?v=TLuMqGsnpZw

01. Calcular:

RESOLUÇÃO: 8, -8, -8.

02. Calcular: RESOLUÇÃO: 0,0016; 0,001

03. Calcular: RESOLUÇÃO: 0,125; -0,125; -0,125

04. O valor da expressão:
a) 20
b) -12
c) 19,5
d) 12
e) 10

RESPOSTA: A

05. (USF) Dadas as expressões:

a) Se a = 2 e b = -2, então A = B;
b) Se a = 2 e b = 2, então A = B;
c) Se a = -2 e b = -2, então A = B;
d) Se a = -2 e b = 2, então A = B;
e) Se a = -2 e b = 2, então A = B.

RESPOSTA: C

06. Simplificando a expressão

obtém-se:

a) 236
b) 2-30
c) 2-6
d) 1
e) a

RESPOSTA: B

07. (FUVEST) O valor de:

a) 0,0264
b) 0,0336
c) 0,1056
d) 0,2568
e) 0,6256

RESPOSTA: D

O Átomo - Revisão

Estrutura Atômica da Matéria

Abaixo estão algumas questões resolvidas sobre o átomo (prótons, elétrons e nêutrons)

01. (Univ. Itaúna) Ao longo da história, vários modelos foram propostos para explicar a constituição dos átomos. Um desses modelos sugeria que o átomo fosse constituído por uma massa positiva, com partículas negativas encrustados por toda sua extensão. Esse modelo admitia uma distribuição homogênea de massa e de carga no átomo. O cientista que propôs esse modelo foi:

a) Thomson
b) Rutherford
c) Dalton
d) Bohr

Resposta: A



02. (FCMMG) Assinale a afirmativa INCORRETA:

a) Segundo Bohr, a energia de um elétron é quantizada, isto é, restrita a determinados valores.
b) Segundo Dalton, a formação dos materiais dá-se através de diferentes associações entre átomos iguais ou não.
c) Na experiência de Rutherford, as partículas alfa que possuem carga positiva sofrem desvios, porque são repelidas pelos elétrons.
d) A descontinuidade dos espectros de absorção ou emissão de energia pelo átomo de hidrogênio evidencia a existência de níveis de energia.

Resposta: C



03. (UNIMONTES) Nos espetáculos pirotécnicos, as cores observadas estão relacionadas com a transição de elétrons dos íons metálicos presentes numa mistura explosiva. Niels Bohr, observando o espectro da emissão de luz do átomo de hidrogênio, criou o seu modelo de átomo.

Com base nesse modelo, é INCORRETO afirmar que:
a) o elétron, ao retornar para níveis de menores energias, emite radiações na forma de luz.
b) ele explica, com precisão, a emissão de luz por elétrons de átomos multieletrônicos.
c) ele afirma que a energia de um elétron, em um determinado nível atômico, é bem definida.
d) o elétron, ao absorver energia, passa do estado fundamental para um estado excitado.

Resposta: B



04. (PUC-MG) As afirmações a seguir são relativas à experiência de Rutherford, pesquisando a estrutura do átomo:

I. A experiência permitiu estabelecer a relação entre o núcleo atômico e o tamanho do átomo.
II. Na experiência, lâminas metálicas delgadas foram bombardeadas com partículas alfa.
III. Partículas alfa foram desviadas do seu trajeto devido à repulsão que o núcleo, de carga positiva, do metal exercia.
IV. Rutherford concluiu que a densidade do átomo era uniforme.

Estão corretas:
a) Apenas I.
b) Apenas I e II.
c) Apenas I, II e III.
d) I, II, III e IV.
e) Apenas I e IV.

Resposta: C



05. (UFMG) Com relação ao modelo atômico de Bohr, a afirmativa FALSA é:

a) Cada órbita eletrônica corresponde a um estado estacionário de energia.
b) O elétron emite energia ao passar de uma órbita mais interna para uma mais externa.
c) O elétron gira em órbitas circulares em torno do núcleo.
d) O elétron, no átomo, apresenta determinados valores de energia.
e) O número quântico principal está associado à energia do elétron.

Resposta: B



06. (UFMG) Através do modelo atômico de Bohr, foi possível a explicação do espectro do hidrogênio. Segundo o modelo de Bohr, as raias do espectro correspondem a:

a) diferença de energia entre órbitas eletrônicas.
b) energia de ionização.
c) energia do elétron.
d) energia do próton.
e) energia mc2 do átomo (m = massa atômica)

Resposta: A



07. (UFMG) De um modo geral, os sucessivos modelos atômicos têm algumas características comuns entre si. Com base na comparação do modelo atual com outros, a afirmativa CORRETA é:

a) No modelo de Dalton e no atual, cada átomo é indivisível.
b) No modelo de Rutherford e no atual, cada átomo tem um núcleo.
c) No modelo de Rutherford e no atual, os elétrons têm energia quantizada.
d) No modelo de Bohr e no atual, os elétrons giram em órbitas circulares e elípticas.
e) No modelo de Dalton e no atual, as propriedades atômicas dependem do número de prótons.

Resposta: B



08. (UFMG) Com relação aos ions K+ e Cl-, é INCORRETO afirmar que:

a) ambos apresentam o mesmo número de elétrons que o átomo de argônio.
b) o ânion Cl- é maior que o átomo neutro de cloro.
c) o átomo neutro de potássio absorve energia para se transformar no cátion K+.
d) um elétron é transferido do Cl- para o K+, quando esses íons se ligam.

Resposta: D



09. (FCMMG) São dadas as seguintes informações relativas aos átomos hipotéticos X, Y e W. O átomo Y tem número atômico 46, número de massa 127 e é isótono de W. O átomo X é isótopo de W e possui número de massa igual a 130. O número de massa de W é 128.

O número atômico de X é igual a:
a) 47
b) 49
c) 81
d) 83

Resposta: A



10. (UFMG) Considerando as partículas constituintes do íon Mg2+ e a posição do elemento no quadro periódico, pode-se afirmar que esse íon:

a) apresenta dois níveis completamente preenchidos.
b) apresenta números iguais de prótons e elétrons.
c) tem um núcleo com 14 prótons.
d) tem a mesma configuração eletrônica que o átomo de argônio.

Resposta: A



11. (UFMG) Com relação a átomos de oxigênio, todas as afirmativas estão corretas, EXCETO:

a) A massa total do átomo está, praticamente, concentrada no núcleo.
b) A perda de elétron pelo átomo neutro ocorre com liberação de energia.
c) O ganho de dois elétrons leva à formação de um íon negativo de raio maior que o do átomo neutro.
d) Os átomos de número de massa 18 têm 10 nêutrons.
e) Os núcleos dos átomos neutros são envolvidos por oito elétrons.

Resposta: B



12. (UNA) Considere as duas configurações eletrônicas dadas a seguir:
A - 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1
B - 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 6s1

Assinale a única proposição abaixo que é FALSA:
a) As configurações A e B representam elementos diferentes.
b) É necessário fornecer energia para levar o átomo da configuração A para B.
c) A configuração A corresponde ao átomo de potássio.
d) Para se retirar um elétron da configuração B, gastasse menos energia que da configuração A.
e) Tanto na configuração A quanto na B os orbitais 1s, 2s, 2p, 3s e 3p estão completos.

Resposta: A



13. A configuração eletrônica do manganês com duas cargas positivas é:

a) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d2
b) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d3
c) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d7
d) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d7
e) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5

Resposta: E



14. Numere a 2ª coluna de acordo com a 1ª.

a) Bohr
b) Rutherford
c) Dalton
d) Orbital
e) Heisenberg

( ) Lugar mais provável de se encontrar o elétron.
( ) Descoberta do núcleo.
( ) O elétron só consegue passar para uma camada mais externa, se absorver energia.
( ) É impossível determinar ao mesmo tempo a posição e a velocidade de um elétron.
( ) As matérias são formadas por combinações de átomos.

Resposta: D-B-A-E-C

Potenciação

Questões sobre Potenciação:

Conjuntos Numéricos

Esse post traz explicações sobre os conjuntos N e Z. Leia-as e resolva os exercício que se seguem:

Recordando Números Naturais: Os inteiros e positivos + o zero.

Os números 1, 2, 3, 4, 5, 6,... foram os primeiros a serem criados pelo homem.
Mais tarde, o símbolo zero (0) foi acrescentado a esses números, formando o conjunto N dos números naturais.

O Conjunto N é indicado por: N = {0, 1, 2, 3,...}

Cada elemento de N é chamado de número natural. Para indicar que um número n é natural, dizemos que n pertence a N.

Para escrever um número natural usamos o sistema de numeração decimal. Esse sistema utiliza dez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Dependendo das posições que ocupam, esses símbolos têm um valor.

Assim, por exemplo, 437 significa 4 centenas, 3 dezenas e 7 unidades, e 374 significa 3 centenas, 7 dezenas e 4 unidades. Portanto 437 = 400 + 30 + 7 e 374 = 300 + 70 + 4.

Desse modo, 437 é diferente de 374, pois os mesmos algarismos ocupam posições diferentes.
Podemos representar os números naturais por pontos de uma semi-reta, conforme figura abaixo:

Na semi-reta, um número natural é sempre maior que qualquer outro natural localizado à sua esquerda.

O conjunto N tem início pelo zero (0), mas não tem fim, e é por este motivo que ele é representado por uma semi-reta.

Exercícios de Revisão

01. Sobre o conjunto N, responda:
a) Qual é o menor número natural?
b) Existe o maior número natural?
c) Quantos números naturais existem?

02. Escreva em ordem crescente (do menor para o maior) os números naturais de dois algarismos diferentes que podem ser formados com os algarismos 4, 5 e 9:


Não se esqueça: Sucessor e Antecessor
Todo número natural é seguido imediatamente por outro números natural, chamado de sucessor.
Todo número natural, com exceção do zero, é precedido imediatamente por outro número natural, chamado de antecessor.
Dois números são consecutivos se um deles é sucessor do outro.


03. Leia a informação acima e responda:
a) Quais são os sucessores dos números 10, 99, 1, 100 e 0?
b) Quais são os antecessores dos números naturais 10, 99, 1, 100 e 0?
c) Qual o sucessor de um números n?
d) Qual o antecessor de um número n?
e) Todo número natural tem sucessor?
f) Todo número natural tem antecessor?

04. Dê exemplo de:
a) dois números naturais consecutivos:
b) Três números naturais consecutivos:


05. Indique quantos números naturais existem:
a) menores que 5:
b) maiores que 5:
c) maiores que 5 e menores que 10:
d) maiores que 10 e menores que 100:
e) maiores que 5 e menores ou iguais a 10:
f) maiores que 10 e menores ou iguais a 100:


06. Considerando os números naturais a = 12 e b = 2, calcule:
a) a + b e b + a
b) a – b e b – a
c) a . b e b . a
d) a : b e b : a


07. Quais dos resultados do exercício anterior não são naturais?


08. Sendo a e b dois números naturais quaisquer, é sempre verdade que:
a) ( ) a + b é um número natural
b) ( ) a – b é um números natural
c) ( ) a . b é um número natural
d) ( ) a : b é um número natural


09. Verifique se existe um número natural n tal que:
a) 2n = 15
b) n + 7 =
c) n² = 5
d) 0n = 7
e) 0n = 7
f) 4n = 0
g) 0n = 0


Múltiplo e divisor
Múltiplo de um número natural é o produto desse número por um número natural
Se a e b são naturais e b é um múltiplo de a, dizemos que a é divisor de b ou que a é um fator de b.


10. Leia a informação acima e escreva o conjunto dos números naturais que são:
a) múltiplo de 2:
b) múltiplos de 3:
c) divisores de 6:
d) divisores de 10:


Número Par, Número Ímpar, Numero Primo.
Um número é par se le é múltiplo de 2.
Um número é ímpar se ele é múltiplo de 2.
Um número natural é primo se tem somente dois divisores naturais: ele próprio e a unidade.


11. Leia a informação acima e classifique os números abaixo em par ou ímpar:
a) 2
b) 7
c) 40
d) 54
e) 15
f) 19


12. Quais dos números do exercício anterior são primos?

CALCULANDO Mentalmente

Calcule mentalmente o próximo número de cada seqüência:
a) 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, _____
b) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ______
c) 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, ____
d) 243, 81, 27, 9, 3, ____
e) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ____


Recordando Números Inteiros: Os Positivos e os negativos.

Quanto valem 40 – 45?

Num campeonato nacional de futebol, foram registrados os seguintes gols:
Qual o saldo de gols do Santa Cruz?

Para tornar a subtração possível, o homem criou os números negativos. O procedimento adotado foi o seguinte: a cada número natural acrescentou-se o seu oposto, de modo que a soma desse número com o seu oposto fosse igual a zero.

Exemplos:
1) 6 + (- 6) = 0
2) 2 + (- 2) = 0
3) 45 + (- 45) = 0

O conjunto dos números inteiros é indicado por:

Z = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Cada elemento de Z é chamado de número inteiro.
Para indicar que um número a é inteiro, escrevemos que a pertence ao N.

Observe que:
Os números 1, 2, 3, 4,... são chamados de inteiros positivos e podem ser indicados por +1 +2, +3, +4, ...;
Os números -1, -2, -3, -4, -5, ... são chamados de inteiros negativos;
O Zero (0) não é positivo nem negativo, é nulo.

Como todo números natural é inteiro, dizemos que N é subconjunto de Z, isto é, que N está contido em Z. Indicamos: N c Z

Podemos representar os números inteiros por pontos de uma Reta, conforme figura abaixo:

Exercícios de Revisão:

01. Responda:
a) Existe o maior números inteiro?
b) Existe o menor número inteiro?
c) Quantos números inteiros existem?
d) Qual é o menor número inteiro positivo?
e) Qual é o maior número inteiro negativo?


02. Escreva em ordem crescente (do menor para o maior) os números inteiros de dois algarismos diferentes que podem ser formados com os algarismos 1, 2 e 3:


03. Leia o quadro acima e responda:
a) Quais os sucessores dos números inteiros 12, 0, -5 e 100?
b) Quais os antecessores dos números 12, 0, -5 e 100?
c) Qual o sucessor de um número inteiro z?
d) Qual o antecessor de um número inteiro z?
e) Todo número inteiro tem sucessor?
f) Todo número inteiro tem antecessor?


04. Dê exemplo de:
a) dois números inteiros consecutivos positivos:
b) dois números inteiros consecutivos negativos:
c) três números inteiros consecutivos:

05. Escreva o conjunto dos números inteiros que são:
a) maiores que -2:
b) menores que zero:
c) maiores que -3 e menores que 3:
d) maiores ou iguais a -3 e menores ou iguais a 3:
e) maiores que -3 e menores ou iguais a 3:
f) maiores ou iguais a -3 e menores que 3:

06. Considere Z como número inteiro. Escreva a sentença matemática que expressa o conjunto tal que z admite valores:
a) maiores que -2:
b) menores que zero:
c) maiores que -3 e menores que 3:
d) maiores ou iguais a -3 e menores ou iguais a 3:
e) maiores que -3 e menores ou iguais a 3:
f) maiores ou iguais a -3 e menores que 3:

07. Efetue as operações indicadas:
a) (5 – 2) (5 – 2)
b) (5 – 2) (2 – 5)
c) (2 – 5) (5 – 2)
d) (2 – 5) (2 – 5)
e) (-5 – 2) (5 – 2)
f) (-2 – 5) (2 – 5)

08. Considerando os números inteiros a = – 4 e b = 2, calcule:
a) a + b e b + a
b) a – b e b – a
c) a . b e b . a
d) a : b e b : a

09. Quais dos resultados do exercício anterior não são números inteiro?

10. Sendo a e b dois números inteiros, é sempre verdade que:
a) ( ) a + b é um número inteiro.
b) ( ) a - b é um número inteiro.
c) ( ) a . b é um número inteiro.
d) ( ) a : b é um número inteiro.

11. Verifique se existe um número inteiro z tal que:
a) 2z = - 15
b) z + 7 = 5
c) z² = 4
d) z² = - 4
e) z² = 5
f) 0z = - 5

12. Observe o diagrama e responda:

a) O elemento x é natural?
b) O elemento y é natural?
c) O elemento x é inteiro?
d) O elemento y inteiro?
e) x e y fazem parte do mesmo conjunto? De qual?
f) Tire conclusões sobre o diagrama:


13. Num certo dia de inverno, em Porto Alegre, os termômetros marcaram as seguintes temperaturas:
* -2° C de madrugada;
* 10° C ao meio-dia.
Qual foi a variação de temperatura que ocorreu nesse dia em Porto Alegre?


14. Num certo dia, Mário estava com saldo negativo de R$ 497,00 no banco. No dia seguinte, fez um depósito de R$ 542,00. Qual o novo saldo de Mário?

Geometria Analítica

Esse post relacionado à Geometria Analítica é composto de video-aulas seguidas de exercícios. Assista às video-aulas com atenção e resolva os exercício para a próxima aula.

Sistema Cartesiano Ortogonal

Revisão:

Assista, com atenção, à vídeo-aula sobre sistema Cartesiano Ortogonal. Clique no link abaixo para abri-lo:
http://www.youtube.com/watch?v=LNFGT8Q8_WY

Agora, resolva:

01. Sabendo que P (2m+1, 3m-4) pertence ao 3° quadrante, determine os possíveis valores reais de m.



Distância entre dois pontos:

Revisão:

Assista, com atenção, à vídeo-aula sobre cálculo da distância entre pontos. Clique no link abaixo para abri-lo:
http://www.youtube.com/watch?v=W8WyRwrtG5E

Resolva:

02. Calcule a distância entre os pontos dados:
A. A (3,7); B (1,4)
B. E (3,-1); F (3,5)
C. H(-2,-5); O(0,0)

03. Qual a distância do ponto A (cos a, sen a) ao ponto B (sen a, -cos a)?



Coordenada do Ponto Médio de um segmento:

Revisão:

Assista, com atenção, à vídeo-aula sobre o cálculo do ponto médio de um segmento. Clique no link abaixo para abri-lo:
http://www.youtube.com/watch?v=Fa_H8iBYRb8


Exercícios:

04. Determine o ponto médio M de AB quando A(1/2, 1/3) e B(-1, 2/3):

05. Um quadrado tem lados paralelos aos eixos coordenados e seu centro é o ponto M(-1,2). O comprimento do lado desse quadrado é igual a 5 unidades. Determine as coordenadas do vértice:

Coeficiente Angular de uma reta / Equação da Reta:

Vídeo-aula sobre condição de alinhamento entre pontos. Link:
http://www.youtube.com/watch?v=g37f0vXKSls

Vídeo-aula sobre equação da reta. Link:
http://www.youtube.com/watch?v=zR9cRGxEnaA

Agora, resolva:

06. Determine o coeficiente angular (ou declividade) da reta que passa pelos pontos:
A. A (3,2) e B (-3,-1)
B. C (2,-3) e D (-4,3)

07. Determine o valor de m, quando alfa = 30°, 45° e 90°:

08. Determine a equação da reta que satisfaz as seguintes condições:
A. A declividade é 4 e passa pelo ponto A(2,-3)
B. A inclinação é de 45° e passa pelo ponto P(4,1)
C. Passa pelo ponto M (-2,-5) e tem coeficiente angular 0 (zero)
D. Passa pelos pontos A(3,1) e B(-5,4)
E. Passa pelo ponto P(-3,-4) e é paralela ao eixo y
F. Tem coeficiente angular -1/2 e passa pelo ponto A(2,-3)
G. Passa pelo ponto P(1,-7) e é paralela ao eixo x:
H. Passa pelos pontos A(1,1) e B(-2,-2)
I. A inclinação é de 150° e passa pela origem

09. Escreva a equação geral e reduzida:
A. Da reta bissetriz dos quadrantes ímpares:
B. Da reta bissetriz dos quadrantes pares:
C. Do eixo x:
D. Do eixo y:

10. ABCD é um paralelogramo cujos pontos possuem coordenadas A(1,1), B(5,2), c(6,5) e D(2,4). Determine a equação geral e a reduzida das diagonais desse paralelogramo:


NOTA: As explicações constantes neste site são do professor Luis Carlos que possui um canal do YouTube. (Todos os direitos reservados)

Modelos Atômicos

O Átomo

I. O átomo de Dalton:

1. Ele acreditou nas leis da conservação da massa e da composição definida.
Toda matéria é composta de partículas fundamentais, os átomos. Os átomos são permanentes e indivisíveis, não podem ser criados e nem destruídos. Todos os átomos de um determinado elemento apresentam as mesmas propriedades químicas. Átomos de elementos diferentes apresentam propriedades diferentes. As reações consistem em uma combinação, separação ou rearranjo de átomos. Compostos químicos são formados pela combinação de átomos de dois ou mais elementos, em uma razão fixa.

2. Ele conseguiu com isso explicar:
Razão da massa conservada nas reações químicas com base nos princípios de que todos os átomos de um determinado elemento apresentam as mesmas propriedades químicas e que as reações consistem em uma combinação, separação ou rearranjo de átomos;

Lei da composição definida já que compostos químicos são formados pela combinação de átomos de dois ou mais elementos, em uma razão fixa e cada átomo possui a sua massa: assim a massa dos reagentes = massa dos produtos.

3. Falhas do modelo / o que não vale mais:
Partículas fundamentais: os átomos;
Os átomos são permanentes e indivisíveis;
Todos os átomos de um determinado elemento apresentam as mesmas propriedades, dentre elas a massa. (Esse conceito foi derrubado devido a existência de isótopos);
Dalton não conseguir diferenciar um átomo de uma molécula.

II. Experiência com Tubo de Crookes:

1. O objetivo era mostrar que os átomos não são indivisíveis. Consiste em um tubo de descarga de gás, ligados a dois eletrodos de alta voltagem e a uma bomba de vácuo. Foi essencial para Thomson comprovar seu modelo atômico.

2. Evidências: A pressão ambiente nenhum fenômeno é observado; A pressões intermediárias há emissão de luz. O tubo se comporta como uma lâmpada. A cor depende do gás usado. A baixas pressões cessa a emissão de luz. O ânodo emite luz esverdeada.

3. Interpretação dos resultados:

• A não emissão de luz é devido a alta constante dielétrica do ar;
• Um raio de luz sai do cátodo e viaja em linha reta até o ânodo (raio catódico);
• A emissão de luz a pressões intermediárias é resultante das colisões das partículas em movimento com o gás;
• A baixas pressões as partículas emitidas colidem como ânodo.

4. Atualmente pode-se comprovar que estas partículas que compõem o raio catódico são carregadas negativamente com o auxilio de um campo magnético que, colocado próximo ao tubo de Crookes, provocará um desvio do raio.

III. O Átomo de Thomson:

1. Thomson comprovou a existência dos elétrons fazendo com que o raio catódico em um tubo de Crookes se desviasse usando um campo elétrico. Seu objetivo era descobrir a composição dos átomos. Segundo ele o átomo é uma esfera carregada positivamente na qual estavam incrustados os elétrons (pudim de passas ou de ameixas), o que levaria a uma fácil remoção dos mesmos.

2. Seu modelo faliu coma experiência de Rutherford.

IV. O átomo de Rutherford:

1. Começou com a descoberta da radioatividade. Substâncias radioativas, como o sal de urânio, são capazes de se desintegrar. Depois de terem sido feitos vários estudos e de saber da existência de partículas radioativas alfa (a) positivas e partículas beta (b) negativas, Rutherford e seus auxiliares realizaram uma experiência, usando Polônio, um material radioativo. O polônio emitia um fluxo de partículas sobre finas folhas de diversos materiais (ouro, mica, papel). Muitas partículas atravessaram a folha sem sofrer desvios. Isso prova que há espaços vazios nos átomos. As partículas que foram desviadas mudaram sua direção em mais de 90°. Poucas partículas foram repelidas devido ao contato das partículas a com o núcleo dos átomos constituintes da folha de ouro (ambos positivos).

2. Conclusões de Rutherford: Nada seria muito sólido para uma partícula a atravessar. O átomo possuía um núcleo pequeno, denso e carregado positivamente (onde se encontravam os prótons) rodeado por elétrons, carregados negativamente, que ocupavam um enorme volume (modelo planetário).

3. Falhas: Não conseguiu explicar o equilíbrio entre prótons (para ele, o núcleo) e elétrons.

V. O dilema do átomo estável:

1. Elétron estacionário: Os elétrons ficariam parados a certa distância do núcleo. Pela física clássica existiria uma atração elétron-núcleo e o átomo entraria em colapso;

2. Elétrons em movimento: Descreveria uma trajetória orbital ao redor no núcleo e mudaria constantemente de direção. Pela física clássica ele emitiria energia radiante, o que não foi observado. Se isso ocorresse iria espiralar até o núcleo.

3. Conclusões: Modelo de Rutherford é inadequado. Bohr propôs um modelo não-clássico baseado na energia radiante emitida pelas substâncias a temperaturas altas e sob influência da eletricidade.

VI. O átomo de Bohr:

1. Bohr propôs um modelo que explica a estabilidade do átomo. Ele baseou-se na teoria quântica de Max Planck e elaborou os seguintes postulados: O elétron gira em torno do núcleo em órbitas circulares (ou níveis energéticos); As órbitas são bem definidas, com energia estacionária; o elétron em um mesmo nível não absorve e nem libera energia e, ao absorver energia, salta para órbitas mais externas (mais energéticas), ao retornar para níveis mais internos, menos energéticos, emite energia em forma de luz. A cada estado estacionário (que corresponde aos níveis de energia do átomo) é permitida uma órbita circular com determinado raio.

2. Teoria de Quantização e Estudos dos Espectros com o modelo de Bohr: Energia quantizada ou energia em forma de pacotes - QUANTUM (absorvida ou liberada). Cada onda eletromagnética representa uma energia que se propaga numa certa freqüência, o que chamamos de quantum. Espectro descontínuo (espectro atômico), espectro do hidrogênio - Região do visível. Cada linha do espectro corresponde a uma transição do elétron.

3. Falhas: O modelo de Bohr supõe um modelo planetário modificado e só explica o comportamento do átomo que possui apenas um elétron, o Hidrogênio.

Assista a video-aula revisional sobre esse assunto:

http://www.youtube.com/watch?v=l6jYKOp_jkw