Conjuntos Numéricos

Esse post traz explicações sobre os conjuntos N e Z. Leia-as e resolva os exercício que se seguem:

Recordando Números Naturais: Os inteiros e positivos + o zero.

Os números 1, 2, 3, 4, 5, 6,... foram os primeiros a serem criados pelo homem.
Mais tarde, o símbolo zero (0) foi acrescentado a esses números, formando o conjunto N dos números naturais.

O Conjunto N é indicado por: N = {0, 1, 2, 3,...}

Cada elemento de N é chamado de número natural. Para indicar que um número n é natural, dizemos que n pertence a N.

Para escrever um número natural usamos o sistema de numeração decimal. Esse sistema utiliza dez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Dependendo das posições que ocupam, esses símbolos têm um valor.

Assim, por exemplo, 437 significa 4 centenas, 3 dezenas e 7 unidades, e 374 significa 3 centenas, 7 dezenas e 4 unidades. Portanto 437 = 400 + 30 + 7 e 374 = 300 + 70 + 4.

Desse modo, 437 é diferente de 374, pois os mesmos algarismos ocupam posições diferentes.
Podemos representar os números naturais por pontos de uma semi-reta, conforme figura abaixo:

Na semi-reta, um número natural é sempre maior que qualquer outro natural localizado à sua esquerda.

O conjunto N tem início pelo zero (0), mas não tem fim, e é por este motivo que ele é representado por uma semi-reta.

Exercícios de Revisão

01. Sobre o conjunto N, responda:
a) Qual é o menor número natural?
b) Existe o maior número natural?
c) Quantos números naturais existem?

02. Escreva em ordem crescente (do menor para o maior) os números naturais de dois algarismos diferentes que podem ser formados com os algarismos 4, 5 e 9:


Não se esqueça: Sucessor e Antecessor
Todo número natural é seguido imediatamente por outro números natural, chamado de sucessor.
Todo número natural, com exceção do zero, é precedido imediatamente por outro número natural, chamado de antecessor.
Dois números são consecutivos se um deles é sucessor do outro.


03. Leia a informação acima e responda:
a) Quais são os sucessores dos números 10, 99, 1, 100 e 0?
b) Quais são os antecessores dos números naturais 10, 99, 1, 100 e 0?
c) Qual o sucessor de um números n?
d) Qual o antecessor de um número n?
e) Todo número natural tem sucessor?
f) Todo número natural tem antecessor?

04. Dê exemplo de:
a) dois números naturais consecutivos:
b) Três números naturais consecutivos:


05. Indique quantos números naturais existem:
a) menores que 5:
b) maiores que 5:
c) maiores que 5 e menores que 10:
d) maiores que 10 e menores que 100:
e) maiores que 5 e menores ou iguais a 10:
f) maiores que 10 e menores ou iguais a 100:


06. Considerando os números naturais a = 12 e b = 2, calcule:
a) a + b e b + a
b) a – b e b – a
c) a . b e b . a
d) a : b e b : a


07. Quais dos resultados do exercício anterior não são naturais?


08. Sendo a e b dois números naturais quaisquer, é sempre verdade que:
a) ( ) a + b é um número natural
b) ( ) a – b é um números natural
c) ( ) a . b é um número natural
d) ( ) a : b é um número natural


09. Verifique se existe um número natural n tal que:
a) 2n = 15
b) n + 7 =
c) n² = 5
d) 0n = 7
e) 0n = 7
f) 4n = 0
g) 0n = 0


Múltiplo e divisor
Múltiplo de um número natural é o produto desse número por um número natural
Se a e b são naturais e b é um múltiplo de a, dizemos que a é divisor de b ou que a é um fator de b.


10. Leia a informação acima e escreva o conjunto dos números naturais que são:
a) múltiplo de 2:
b) múltiplos de 3:
c) divisores de 6:
d) divisores de 10:


Número Par, Número Ímpar, Numero Primo.
Um número é par se le é múltiplo de 2.
Um número é ímpar se ele é múltiplo de 2.
Um número natural é primo se tem somente dois divisores naturais: ele próprio e a unidade.


11. Leia a informação acima e classifique os números abaixo em par ou ímpar:
a) 2
b) 7
c) 40
d) 54
e) 15
f) 19


12. Quais dos números do exercício anterior são primos?

CALCULANDO Mentalmente

Calcule mentalmente o próximo número de cada seqüência:
a) 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, _____
b) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ______
c) 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, ____
d) 243, 81, 27, 9, 3, ____
e) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ____


Recordando Números Inteiros: Os Positivos e os negativos.

Quanto valem 40 – 45?

Num campeonato nacional de futebol, foram registrados os seguintes gols:
Qual o saldo de gols do Santa Cruz?

Para tornar a subtração possível, o homem criou os números negativos. O procedimento adotado foi o seguinte: a cada número natural acrescentou-se o seu oposto, de modo que a soma desse número com o seu oposto fosse igual a zero.

Exemplos:
1) 6 + (- 6) = 0
2) 2 + (- 2) = 0
3) 45 + (- 45) = 0

O conjunto dos números inteiros é indicado por:

Z = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Cada elemento de Z é chamado de número inteiro.
Para indicar que um número a é inteiro, escrevemos que a pertence ao N.

Observe que:
Os números 1, 2, 3, 4,... são chamados de inteiros positivos e podem ser indicados por +1 +2, +3, +4, ...;
Os números -1, -2, -3, -4, -5, ... são chamados de inteiros negativos;
O Zero (0) não é positivo nem negativo, é nulo.

Como todo números natural é inteiro, dizemos que N é subconjunto de Z, isto é, que N está contido em Z. Indicamos: N c Z

Podemos representar os números inteiros por pontos de uma Reta, conforme figura abaixo:

Exercícios de Revisão:

01. Responda:
a) Existe o maior números inteiro?
b) Existe o menor número inteiro?
c) Quantos números inteiros existem?
d) Qual é o menor número inteiro positivo?
e) Qual é o maior número inteiro negativo?


02. Escreva em ordem crescente (do menor para o maior) os números inteiros de dois algarismos diferentes que podem ser formados com os algarismos 1, 2 e 3:


03. Leia o quadro acima e responda:
a) Quais os sucessores dos números inteiros 12, 0, -5 e 100?
b) Quais os antecessores dos números 12, 0, -5 e 100?
c) Qual o sucessor de um número inteiro z?
d) Qual o antecessor de um número inteiro z?
e) Todo número inteiro tem sucessor?
f) Todo número inteiro tem antecessor?


04. Dê exemplo de:
a) dois números inteiros consecutivos positivos:
b) dois números inteiros consecutivos negativos:
c) três números inteiros consecutivos:

05. Escreva o conjunto dos números inteiros que são:
a) maiores que -2:
b) menores que zero:
c) maiores que -3 e menores que 3:
d) maiores ou iguais a -3 e menores ou iguais a 3:
e) maiores que -3 e menores ou iguais a 3:
f) maiores ou iguais a -3 e menores que 3:

06. Considere Z como número inteiro. Escreva a sentença matemática que expressa o conjunto tal que z admite valores:
a) maiores que -2:
b) menores que zero:
c) maiores que -3 e menores que 3:
d) maiores ou iguais a -3 e menores ou iguais a 3:
e) maiores que -3 e menores ou iguais a 3:
f) maiores ou iguais a -3 e menores que 3:

07. Efetue as operações indicadas:
a) (5 – 2) (5 – 2)
b) (5 – 2) (2 – 5)
c) (2 – 5) (5 – 2)
d) (2 – 5) (2 – 5)
e) (-5 – 2) (5 – 2)
f) (-2 – 5) (2 – 5)

08. Considerando os números inteiros a = – 4 e b = 2, calcule:
a) a + b e b + a
b) a – b e b – a
c) a . b e b . a
d) a : b e b : a

09. Quais dos resultados do exercício anterior não são números inteiro?

10. Sendo a e b dois números inteiros, é sempre verdade que:
a) ( ) a + b é um número inteiro.
b) ( ) a - b é um número inteiro.
c) ( ) a . b é um número inteiro.
d) ( ) a : b é um número inteiro.

11. Verifique se existe um número inteiro z tal que:
a) 2z = - 15
b) z + 7 = 5
c) z² = 4
d) z² = - 4
e) z² = 5
f) 0z = - 5

12. Observe o diagrama e responda:

a) O elemento x é natural?
b) O elemento y é natural?
c) O elemento x é inteiro?
d) O elemento y inteiro?
e) x e y fazem parte do mesmo conjunto? De qual?
f) Tire conclusões sobre o diagrama:


13. Num certo dia de inverno, em Porto Alegre, os termômetros marcaram as seguintes temperaturas:
* -2° C de madrugada;
* 10° C ao meio-dia.
Qual foi a variação de temperatura que ocorreu nesse dia em Porto Alegre?


14. Num certo dia, Mário estava com saldo negativo de R$ 497,00 no banco. No dia seguinte, fez um depósito de R$ 542,00. Qual o novo saldo de Mário?

Geometria Analítica

Esse post relacionado à Geometria Analítica é composto de video-aulas seguidas de exercícios. Assista às video-aulas com atenção e resolva os exercício para a próxima aula.

Sistema Cartesiano Ortogonal

Revisão:

Assista, com atenção, à vídeo-aula sobre sistema Cartesiano Ortogonal. Clique no link abaixo para abri-lo:
http://www.youtube.com/watch?v=LNFGT8Q8_WY

Agora, resolva:

01. Sabendo que P (2m+1, 3m-4) pertence ao 3° quadrante, determine os possíveis valores reais de m.



Distância entre dois pontos:

Revisão:

Assista, com atenção, à vídeo-aula sobre cálculo da distância entre pontos. Clique no link abaixo para abri-lo:
http://www.youtube.com/watch?v=W8WyRwrtG5E

Resolva:

02. Calcule a distância entre os pontos dados:
A. A (3,7); B (1,4)
B. E (3,-1); F (3,5)
C. H(-2,-5); O(0,0)

03. Qual a distância do ponto A (cos a, sen a) ao ponto B (sen a, -cos a)?



Coordenada do Ponto Médio de um segmento:

Revisão:

Assista, com atenção, à vídeo-aula sobre o cálculo do ponto médio de um segmento. Clique no link abaixo para abri-lo:
http://www.youtube.com/watch?v=Fa_H8iBYRb8


Exercícios:

04. Determine o ponto médio M de AB quando A(1/2, 1/3) e B(-1, 2/3):

05. Um quadrado tem lados paralelos aos eixos coordenados e seu centro é o ponto M(-1,2). O comprimento do lado desse quadrado é igual a 5 unidades. Determine as coordenadas do vértice:

Coeficiente Angular de uma reta / Equação da Reta:

Vídeo-aula sobre condição de alinhamento entre pontos. Link:
http://www.youtube.com/watch?v=g37f0vXKSls

Vídeo-aula sobre equação da reta. Link:
http://www.youtube.com/watch?v=zR9cRGxEnaA

Agora, resolva:

06. Determine o coeficiente angular (ou declividade) da reta que passa pelos pontos:
A. A (3,2) e B (-3,-1)
B. C (2,-3) e D (-4,3)

07. Determine o valor de m, quando alfa = 30°, 45° e 90°:

08. Determine a equação da reta que satisfaz as seguintes condições:
A. A declividade é 4 e passa pelo ponto A(2,-3)
B. A inclinação é de 45° e passa pelo ponto P(4,1)
C. Passa pelo ponto M (-2,-5) e tem coeficiente angular 0 (zero)
D. Passa pelos pontos A(3,1) e B(-5,4)
E. Passa pelo ponto P(-3,-4) e é paralela ao eixo y
F. Tem coeficiente angular -1/2 e passa pelo ponto A(2,-3)
G. Passa pelo ponto P(1,-7) e é paralela ao eixo x:
H. Passa pelos pontos A(1,1) e B(-2,-2)
I. A inclinação é de 150° e passa pela origem

09. Escreva a equação geral e reduzida:
A. Da reta bissetriz dos quadrantes ímpares:
B. Da reta bissetriz dos quadrantes pares:
C. Do eixo x:
D. Do eixo y:

10. ABCD é um paralelogramo cujos pontos possuem coordenadas A(1,1), B(5,2), c(6,5) e D(2,4). Determine a equação geral e a reduzida das diagonais desse paralelogramo:


NOTA: As explicações constantes neste site são do professor Luis Carlos que possui um canal do YouTube. (Todos os direitos reservados)

Modelos Atômicos

O Átomo

I. O átomo de Dalton:

1. Ele acreditou nas leis da conservação da massa e da composição definida.
Toda matéria é composta de partículas fundamentais, os átomos. Os átomos são permanentes e indivisíveis, não podem ser criados e nem destruídos. Todos os átomos de um determinado elemento apresentam as mesmas propriedades químicas. Átomos de elementos diferentes apresentam propriedades diferentes. As reações consistem em uma combinação, separação ou rearranjo de átomos. Compostos químicos são formados pela combinação de átomos de dois ou mais elementos, em uma razão fixa.

2. Ele conseguiu com isso explicar:
Razão da massa conservada nas reações químicas com base nos princípios de que todos os átomos de um determinado elemento apresentam as mesmas propriedades químicas e que as reações consistem em uma combinação, separação ou rearranjo de átomos;

Lei da composição definida já que compostos químicos são formados pela combinação de átomos de dois ou mais elementos, em uma razão fixa e cada átomo possui a sua massa: assim a massa dos reagentes = massa dos produtos.

3. Falhas do modelo / o que não vale mais:
Partículas fundamentais: os átomos;
Os átomos são permanentes e indivisíveis;
Todos os átomos de um determinado elemento apresentam as mesmas propriedades, dentre elas a massa. (Esse conceito foi derrubado devido a existência de isótopos);
Dalton não conseguir diferenciar um átomo de uma molécula.

II. Experiência com Tubo de Crookes:

1. O objetivo era mostrar que os átomos não são indivisíveis. Consiste em um tubo de descarga de gás, ligados a dois eletrodos de alta voltagem e a uma bomba de vácuo. Foi essencial para Thomson comprovar seu modelo atômico.

2. Evidências: A pressão ambiente nenhum fenômeno é observado; A pressões intermediárias há emissão de luz. O tubo se comporta como uma lâmpada. A cor depende do gás usado. A baixas pressões cessa a emissão de luz. O ânodo emite luz esverdeada.

3. Interpretação dos resultados:

• A não emissão de luz é devido a alta constante dielétrica do ar;
• Um raio de luz sai do cátodo e viaja em linha reta até o ânodo (raio catódico);
• A emissão de luz a pressões intermediárias é resultante das colisões das partículas em movimento com o gás;
• A baixas pressões as partículas emitidas colidem como ânodo.

4. Atualmente pode-se comprovar que estas partículas que compõem o raio catódico são carregadas negativamente com o auxilio de um campo magnético que, colocado próximo ao tubo de Crookes, provocará um desvio do raio.

III. O Átomo de Thomson:

1. Thomson comprovou a existência dos elétrons fazendo com que o raio catódico em um tubo de Crookes se desviasse usando um campo elétrico. Seu objetivo era descobrir a composição dos átomos. Segundo ele o átomo é uma esfera carregada positivamente na qual estavam incrustados os elétrons (pudim de passas ou de ameixas), o que levaria a uma fácil remoção dos mesmos.

2. Seu modelo faliu coma experiência de Rutherford.

IV. O átomo de Rutherford:

1. Começou com a descoberta da radioatividade. Substâncias radioativas, como o sal de urânio, são capazes de se desintegrar. Depois de terem sido feitos vários estudos e de saber da existência de partículas radioativas alfa (a) positivas e partículas beta (b) negativas, Rutherford e seus auxiliares realizaram uma experiência, usando Polônio, um material radioativo. O polônio emitia um fluxo de partículas sobre finas folhas de diversos materiais (ouro, mica, papel). Muitas partículas atravessaram a folha sem sofrer desvios. Isso prova que há espaços vazios nos átomos. As partículas que foram desviadas mudaram sua direção em mais de 90°. Poucas partículas foram repelidas devido ao contato das partículas a com o núcleo dos átomos constituintes da folha de ouro (ambos positivos).

2. Conclusões de Rutherford: Nada seria muito sólido para uma partícula a atravessar. O átomo possuía um núcleo pequeno, denso e carregado positivamente (onde se encontravam os prótons) rodeado por elétrons, carregados negativamente, que ocupavam um enorme volume (modelo planetário).

3. Falhas: Não conseguiu explicar o equilíbrio entre prótons (para ele, o núcleo) e elétrons.

V. O dilema do átomo estável:

1. Elétron estacionário: Os elétrons ficariam parados a certa distância do núcleo. Pela física clássica existiria uma atração elétron-núcleo e o átomo entraria em colapso;

2. Elétrons em movimento: Descreveria uma trajetória orbital ao redor no núcleo e mudaria constantemente de direção. Pela física clássica ele emitiria energia radiante, o que não foi observado. Se isso ocorresse iria espiralar até o núcleo.

3. Conclusões: Modelo de Rutherford é inadequado. Bohr propôs um modelo não-clássico baseado na energia radiante emitida pelas substâncias a temperaturas altas e sob influência da eletricidade.

VI. O átomo de Bohr:

1. Bohr propôs um modelo que explica a estabilidade do átomo. Ele baseou-se na teoria quântica de Max Planck e elaborou os seguintes postulados: O elétron gira em torno do núcleo em órbitas circulares (ou níveis energéticos); As órbitas são bem definidas, com energia estacionária; o elétron em um mesmo nível não absorve e nem libera energia e, ao absorver energia, salta para órbitas mais externas (mais energéticas), ao retornar para níveis mais internos, menos energéticos, emite energia em forma de luz. A cada estado estacionário (que corresponde aos níveis de energia do átomo) é permitida uma órbita circular com determinado raio.

2. Teoria de Quantização e Estudos dos Espectros com o modelo de Bohr: Energia quantizada ou energia em forma de pacotes - QUANTUM (absorvida ou liberada). Cada onda eletromagnética representa uma energia que se propaga numa certa freqüência, o que chamamos de quantum. Espectro descontínuo (espectro atômico), espectro do hidrogênio - Região do visível. Cada linha do espectro corresponde a uma transição do elétron.

3. Falhas: O modelo de Bohr supõe um modelo planetário modificado e só explica o comportamento do átomo que possui apenas um elétron, o Hidrogênio.

Assista a video-aula revisional sobre esse assunto:

http://www.youtube.com/watch?v=l6jYKOp_jkw