Progressão Geométrica

Questão 01
O valor positivo de x que torna a sucessão (1/2, x, 9/8) uma PG é:

(A) 1/2
(B) 1/4
(C) 3/2
(D) 3/4
(E) 3/8

Resposta: D


Questão 02
O valor de x para que a seqüência (x+1, x, x+2) seja uma PG é:

(A) 1/2
(B) 2/3
(C) -2/3
(D) -1/2
(E) 3

Resposta: C


Questão 03
A seqüência (8x, 5x-3, x+3, x) é uma progressão geométrica, de termos positivos, cuja razão é

(A) 1/4
(B) 1/3
(C) 1/2
(D) 2
(E) 3

Resposta: C


Questão 04
Ao interpolarmos 5 meios geométricos entre 1458 e 2, encontramos uma PG de razão:

(A) -1/2 ou +1/2
(B) -1/3 ou +1/3
(C) -1/4 ou +1/4
(D) -1/5 ou +1/5
(E) -1/6 ou +1/6

Resposta:B

Trabalho, Potência e Energia

Resumo e exercícios sobre trabalho e energia, clique no link abaixo:

http://www.conselheirocrispiniano.com.br/download/trabalho_e_potencia.doc

Prograssão Aritmética

1 - Introdução

Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.

Uma seqüência pode ser finita ou infinita. O exemplo dado acima é de uma seqüência finita. Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.

Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma:(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , ak é o k-ésimo termo, ... , an é o n-ésimo termo. (Neste caso, k <0)

Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc.

São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles. Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3. A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência, é denominada termo geral.

Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo. Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo) correspondente.

Assim por exemplo, para n = 20, teremos an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a20) é igual a 65. Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria: S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).

Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la. Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo. Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como: (15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).

Por exemplo: a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.2 -

2- Conceito de Progressão Aritmética - PA

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)

3 - Termo Geral de uma PA

Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que:
an = a1 + (n – 1) . r

A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA. Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.

Exemplos:

Qual o milésimo número ímpar positivo?

Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a1000.

Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:

a1000 = a1 + (1000 - 1).2
= 1 + 999.2 = 1 + 1998
= 1999.

Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.

Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?

Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica:

22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e,
22 - 100 - 2 = - 2n

de onde conclui-se que

- 80 = - 2n , de onde vem n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos.

Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemos generaliza-la da seguinte forma:

Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte fórmula genérica:
aj = ak + (j - k).r

Exemplos:

Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?
Temos a5 = 30 e a20 = 60.

Pela fórmula anterior, poderemos escrever:
a20 = a5 + (20 - 5) . r

e substituindo fica:
60 = 30 + (20 - 5).r ;
60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.

Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?
Temos r = 5, a20 = 8.

Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5
a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.

3 - Propriedades das Progressões Aritméticas

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste. Exemplo: PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2

Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo: Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo: (x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.

Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.

Exemplo: PA : ( m, n, r, s, t);

portanto, m + t = n + s = r + r = 2r

Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.

4 - Soma dos n primeiros termos de uma PA

Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an). A soma dos n primeiros termos
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an ,

pode ser deduzida facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima.

Temos:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an

É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como:
Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1

Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:

2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)

Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que:2.
Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA.

Daí então, vem finalmente que:
Sn = (a1 + an).n/2

Exemplo:

Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.

Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )
Precisamos conhecer o valor de a200 .

Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399
Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000
Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.

Exercícios resolvidos e propostos:

1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?
a) 9*
b) 8
c) 7
d ) 6
e) 5

SOLUÇÃO: Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:
an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)
an = 7/5 – 2n/5 + 2/5
= (7/5 + 2/5) –2n/5
= 9/5 –2n/5
= (9 – 2n)/5

A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:
Sn = (a1 + an). (n/2)
= [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2)
= [(16 – 2n)/5].(n/2)
Sn = (16n – 2n2) / 10

Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:
(16n – 2n2) / 10 <0>

Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter:

16n – 2n2 <0> 8.
Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9. Portanto, a alternativa correta é a letra A.

2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:
a) 8
b) 12
c) 15
d) 24*
e) 33

3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.
Resp: 60

4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.
Resp: r = -1

5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:
a) 64376
b) 12846
c) 21286
d) 112
e) 61376*

Propriedades dos Radicais

Assista atentamente à vídeo-aula sobre radicais clicando no link abaixo:
http://www.youtube.com/watch?v=OkJ8rAxcubc

RADICAIS



A raiz de índice par de um número não-negativo é um número real não-negativo.

A raiz de um radical de índice ímpar tem o mesmo sinal do radicando.

Potência com expoente fracionária: relacionando radiciação com potenciação.

Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número natural não-nulo, temos:

Propriedades dos radicais

1ª propriedade:

Para os radicais de índice n de uma potência com expoente também igual a n temos:

se n é um número natural ímpar, então:sendo a um número real;

se n é um número natural par não-nulo, então:com a um número real.

2ª propriedade:

Dividindo-se o índice e o expoente do radicando por um mesmo número natural maior que zero, o valor do radical não se altera, ou seja:

1. sendo a um número real positivo, m um número inteiro, n um número natural não-nulo e p divisor de m e n.

2. Essa propriedade permite simplificar certos radicais, isto é, transformá-lo em outros radicais mais simples e equivalentes aos radicais dados.

3ª propriedade:

O radical de índice natural não-nulo n de um produto , com a e b números reais positivos, é igual ao produto dos radicais de mesmo índice n dos fatores (a e b) do radicando, ou seja:


4ª propriedade:

O radical de índice natural não-nulo n de um quociente , com a e b números reais positivos, é igual ao quociente dos radicais de mesmo índice n dos termos a e b do radicando, ou seja:
1. Essas propriedades permitem simplificar certos radicais, tirando fatores do radicando.
2. Da mesmo forma que podemos tirar fatores do radicando, podemos fazer o inverso, ou seja, introduzir fatores externos no radicando. Veja os exemplos:


Observações:

Não se pode somar nem subtrair radicais diferentes. Imagine as raízes como letras.

Letras iguais: podem ser somadas ou subtraídas, divididas ou multiplicadas. Letras diferentes se podem apenas ser divididas ou multiplicadas uma pelas outras:

Analogamente ao que acontece com os radicais: É impossível fazer: x + y ou x – y, mas é possível fazer: xy e x/y ou ainda x + x = 2x e x – x = 0.

Mais exercícios resolvidos clique no link:

http://www.blogviche.com.br/2007/03/25/questionarious-1-potenciacao-e-radiciacao/

Potenciação

Assista à vídeo-aula clicando no link abaixo, em seguida
resolva as questões sobre potenciação e traga as dúvidas na próxima aula.

http://www.youtube.com/watch?v=TLuMqGsnpZw

01. Calcular:

RESOLUÇÃO: 8, -8, -8.

02. Calcular: RESOLUÇÃO: 0,0016; 0,001

03. Calcular: RESOLUÇÃO: 0,125; -0,125; -0,125

04. O valor da expressão:
a) 20
b) -12
c) 19,5
d) 12
e) 10

RESPOSTA: A

05. (USF) Dadas as expressões:

a) Se a = 2 e b = -2, então A = B;
b) Se a = 2 e b = 2, então A = B;
c) Se a = -2 e b = -2, então A = B;
d) Se a = -2 e b = 2, então A = B;
e) Se a = -2 e b = 2, então A = B.

RESPOSTA: C

06. Simplificando a expressão

obtém-se:

a) 236
b) 2-30
c) 2-6
d) 1
e) a

RESPOSTA: B

07. (FUVEST) O valor de:

a) 0,0264
b) 0,0336
c) 0,1056
d) 0,2568
e) 0,6256

RESPOSTA: D

O Átomo - Revisão

Estrutura Atômica da Matéria

Abaixo estão algumas questões resolvidas sobre o átomo (prótons, elétrons e nêutrons)

01. (Univ. Itaúna) Ao longo da história, vários modelos foram propostos para explicar a constituição dos átomos. Um desses modelos sugeria que o átomo fosse constituído por uma massa positiva, com partículas negativas encrustados por toda sua extensão. Esse modelo admitia uma distribuição homogênea de massa e de carga no átomo. O cientista que propôs esse modelo foi:

a) Thomson
b) Rutherford
c) Dalton
d) Bohr

Resposta: A



02. (FCMMG) Assinale a afirmativa INCORRETA:

a) Segundo Bohr, a energia de um elétron é quantizada, isto é, restrita a determinados valores.
b) Segundo Dalton, a formação dos materiais dá-se através de diferentes associações entre átomos iguais ou não.
c) Na experiência de Rutherford, as partículas alfa que possuem carga positiva sofrem desvios, porque são repelidas pelos elétrons.
d) A descontinuidade dos espectros de absorção ou emissão de energia pelo átomo de hidrogênio evidencia a existência de níveis de energia.

Resposta: C



03. (UNIMONTES) Nos espetáculos pirotécnicos, as cores observadas estão relacionadas com a transição de elétrons dos íons metálicos presentes numa mistura explosiva. Niels Bohr, observando o espectro da emissão de luz do átomo de hidrogênio, criou o seu modelo de átomo.

Com base nesse modelo, é INCORRETO afirmar que:
a) o elétron, ao retornar para níveis de menores energias, emite radiações na forma de luz.
b) ele explica, com precisão, a emissão de luz por elétrons de átomos multieletrônicos.
c) ele afirma que a energia de um elétron, em um determinado nível atômico, é bem definida.
d) o elétron, ao absorver energia, passa do estado fundamental para um estado excitado.

Resposta: B



04. (PUC-MG) As afirmações a seguir são relativas à experiência de Rutherford, pesquisando a estrutura do átomo:

I. A experiência permitiu estabelecer a relação entre o núcleo atômico e o tamanho do átomo.
II. Na experiência, lâminas metálicas delgadas foram bombardeadas com partículas alfa.
III. Partículas alfa foram desviadas do seu trajeto devido à repulsão que o núcleo, de carga positiva, do metal exercia.
IV. Rutherford concluiu que a densidade do átomo era uniforme.

Estão corretas:
a) Apenas I.
b) Apenas I e II.
c) Apenas I, II e III.
d) I, II, III e IV.
e) Apenas I e IV.

Resposta: C



05. (UFMG) Com relação ao modelo atômico de Bohr, a afirmativa FALSA é:

a) Cada órbita eletrônica corresponde a um estado estacionário de energia.
b) O elétron emite energia ao passar de uma órbita mais interna para uma mais externa.
c) O elétron gira em órbitas circulares em torno do núcleo.
d) O elétron, no átomo, apresenta determinados valores de energia.
e) O número quântico principal está associado à energia do elétron.

Resposta: B



06. (UFMG) Através do modelo atômico de Bohr, foi possível a explicação do espectro do hidrogênio. Segundo o modelo de Bohr, as raias do espectro correspondem a:

a) diferença de energia entre órbitas eletrônicas.
b) energia de ionização.
c) energia do elétron.
d) energia do próton.
e) energia mc2 do átomo (m = massa atômica)

Resposta: A



07. (UFMG) De um modo geral, os sucessivos modelos atômicos têm algumas características comuns entre si. Com base na comparação do modelo atual com outros, a afirmativa CORRETA é:

a) No modelo de Dalton e no atual, cada átomo é indivisível.
b) No modelo de Rutherford e no atual, cada átomo tem um núcleo.
c) No modelo de Rutherford e no atual, os elétrons têm energia quantizada.
d) No modelo de Bohr e no atual, os elétrons giram em órbitas circulares e elípticas.
e) No modelo de Dalton e no atual, as propriedades atômicas dependem do número de prótons.

Resposta: B



08. (UFMG) Com relação aos ions K+ e Cl-, é INCORRETO afirmar que:

a) ambos apresentam o mesmo número de elétrons que o átomo de argônio.
b) o ânion Cl- é maior que o átomo neutro de cloro.
c) o átomo neutro de potássio absorve energia para se transformar no cátion K+.
d) um elétron é transferido do Cl- para o K+, quando esses íons se ligam.

Resposta: D



09. (FCMMG) São dadas as seguintes informações relativas aos átomos hipotéticos X, Y e W. O átomo Y tem número atômico 46, número de massa 127 e é isótono de W. O átomo X é isótopo de W e possui número de massa igual a 130. O número de massa de W é 128.

O número atômico de X é igual a:
a) 47
b) 49
c) 81
d) 83

Resposta: A



10. (UFMG) Considerando as partículas constituintes do íon Mg2+ e a posição do elemento no quadro periódico, pode-se afirmar que esse íon:

a) apresenta dois níveis completamente preenchidos.
b) apresenta números iguais de prótons e elétrons.
c) tem um núcleo com 14 prótons.
d) tem a mesma configuração eletrônica que o átomo de argônio.

Resposta: A



11. (UFMG) Com relação a átomos de oxigênio, todas as afirmativas estão corretas, EXCETO:

a) A massa total do átomo está, praticamente, concentrada no núcleo.
b) A perda de elétron pelo átomo neutro ocorre com liberação de energia.
c) O ganho de dois elétrons leva à formação de um íon negativo de raio maior que o do átomo neutro.
d) Os átomos de número de massa 18 têm 10 nêutrons.
e) Os núcleos dos átomos neutros são envolvidos por oito elétrons.

Resposta: B



12. (UNA) Considere as duas configurações eletrônicas dadas a seguir:
A - 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1
B - 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 6s1

Assinale a única proposição abaixo que é FALSA:
a) As configurações A e B representam elementos diferentes.
b) É necessário fornecer energia para levar o átomo da configuração A para B.
c) A configuração A corresponde ao átomo de potássio.
d) Para se retirar um elétron da configuração B, gastasse menos energia que da configuração A.
e) Tanto na configuração A quanto na B os orbitais 1s, 2s, 2p, 3s e 3p estão completos.

Resposta: A



13. A configuração eletrônica do manganês com duas cargas positivas é:

a) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d2
b) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d3
c) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d7
d) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d7
e) 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d5

Resposta: E



14. Numere a 2ª coluna de acordo com a 1ª.

a) Bohr
b) Rutherford
c) Dalton
d) Orbital
e) Heisenberg

( ) Lugar mais provável de se encontrar o elétron.
( ) Descoberta do núcleo.
( ) O elétron só consegue passar para uma camada mais externa, se absorver energia.
( ) É impossível determinar ao mesmo tempo a posição e a velocidade de um elétron.
( ) As matérias são formadas por combinações de átomos.

Resposta: D-B-A-E-C

Potenciação

Questões sobre Potenciação: